| 标题 | 证明三角形重心判定性质 |
| 范文 | 重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等，重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。下面小编给大家带来证明三角形重心判定性质，希望能帮助到大家! 证明三角形重心判定定理 例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。 求证：EG=1/2CG 证明：过E作EH∥BF交AC于H。 ∵AE=BE，EH//BF ∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理) 又∵ AF=CF ∴HF=1/2CF ∴HF:CF=1/2 ∵EH∥BF ∴EG:CG=HF:CF=1/2 ∴EG=1/2CG 方法二 连接EF 利用三角形相似 求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC 利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC 证明三角形重心判定性质 证明方法： 在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知： OA'=1/3AA' OB'=1/3BB' OC'=1/3CC' 过O，A分别作a边上高OH'，AH 可知OH'=1/3AH 则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC 同理可证S△AOC=1/3S△ABC S△AOB=1/3S△ABC 所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB 在三角形ABC中，向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF 根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO =a+ xBF=a+ x(AF-AB) = a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b 向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD, 根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO =b+ yCD=b+y(AD-AC) = b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b. 所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b 则1-x= y/2， x/2=1-y， 解得x=2/3,y=2/3. 向量BO=2/3BF，向量CO=2/3CD 即BO：OF=CO：OD=2。 ∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b 又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB) 证明三角形重心判定方法 已知：△ABC中,D为BC中点,E为AC中点,AD与BE交于O,CO延长线交AB于F。 求证：F为AB中点. 三角形重心 证明：根据燕尾定理,S△AOB=S△AOC,又S△AOB=S△BOC,∴S△AOC=S△BOC,再应用燕尾定理即得AF=BF,命题得证。 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3, (Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标(Z1+Z2+Z3)/3 5、重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分. 证明：刚才证明三线交一时已证。 6、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 |
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