| 标题 | 高考文科数学二轮选修专题一导数及其应用专题复习题 |
| 内容 | 高考文科数学二轮选修专题一导数及其应用专题复习题 专题一 导数及其应用 第1讲 导数的简单应用 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1.函数f(x)=12x2-ln x的单调递减区间为 ( ). A.(-1,1] B.(0,1] C.[1，+∞) D.(0，+∞) 解析 由题意知，函数的定义域为(0，+∞)，又由f′(x)=x-1x≤0，解得0 答案 B 2.(2014•全国新课标Ⅱ卷)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= ( ). A.0 B.1 C.2 D.3 解析 令f(x)=ax-ln(x+1)，则f′(x)=a-1x+1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)=a-1.又切线方程为y=2x，则有a-1=2，∴a=3. 答案 D 3.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( ). A.-∞，12∪12，2 B.-∞，0∪12，2 C.-∞，12∪12，+∞ D.-∞，12∪2，+∞ 解析 xf′(x)<0⇒x>0，f′?x?<0或x<0f′?x?>0. 当x∈12，2时，f(x)单调递减，此时f′(x)<0. 当x∈(-∞，0)时，f(x)单调递增，此时f′(x)>0.故选B. 答案 B 4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内，则实数a的取值范围是 ( ). A.(0,2] B.(0,2) C.[3，2) D.(3，2) 解析 由题意可知f′(x)=0的两个不同解都在区间(-1，1)内.因为f′(x)=3x2+2ax+1，所以根据导函数图象可得Δ=?2a?2-4×3×1>0，-1<-2a6<1，f′?-1?=3-2a+1>0，f′?1?=3+2a+1>0，又a>0，解得3 答案 D 5.(2013•浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2)，则 ( ). A.当k=1时，f(x)在x=1处取到极小值 B.当k=1时，f(x)在x=1处取到极大值 C.当k=2时，f(x)在x=1处取到极小值 D.当k=2时，f(x)在x=1处取到极大值 解析 当k=1时，f′(x)=ex•x-1，f′(1)≠0， ∴f(1)不是极值，故A，B错; 当k=2时，f′(x)=(x-1)(xex+ex-2)， 显然f′(1)=0，且x在1的左侧附近f′(x)<0， x在1的右侧附近f′(x)>0， ∴f(x)在x=1处取得极小值.故选C. 答案 C 6.(2014•潍坊模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式f(x)+xf′(x)<0成立，若a=30.3f(30.3)，b=logπ3f(logπ3)，c=log319flog319，则a，b，c间的大小关系是 ( ). A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b 解析 设g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)<0(x<0)，∴当x<0时，g(x)=xf(x)为减函数. 又g(x)为偶函数，∴当x>0时，g(x)为增函数. ∵1<30.3<2,0 又g(-2)=g(x)，∴g(-2)>g(30.3)>g(logπ3)， 即c>a>b. 答案 C 二、填空题 7.(2013•江西卷)设函数f(x)在(0，+∞)内可导，且f(ex)=x+ex，则f′(1)=________. 解析 设ex=t，则x=ln t(t>0)， ∴f(t)=ln t+t，即f(x)=ln x+x， ∴f′(x)=1x+1， ∴f′(1)=2. 答案 2 8.(2014•江西卷)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是________. 解析 设P(x0，y0)，∵y=e-x，∴y′=-e-x， ∴点P处的切线斜率为k=-e-x0=-2， ∴-x0=ln 2，∴x0=-ln 2， ∴y0=eln 2=2， ∴点P的坐标为(-ln 2,2). 答案 (-ln 2,2) 9.(2014•盐城调研)若a>0，b>0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值为________. 解析 依题意知f′(x)=12x2-2ax-2b， ∴f′(1)=0，即12-2a-2b=0，∴a+b=6. 又a>0，b>0，∴ab≤a+b22=9，当且仅当a=b=3时取等号，∴ab的最大值为9. 答案 9 10.已知函数f(x)=aln x+x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________. 解析 ∵f(x)=aln x+x.∴f′(x)=ax+1. 又∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴ax+1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(-x)max=-2，∴a∈[-2，+∞). 答案 [-2，+∞) 11.(2013•新课标全国Ⅰ卷)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值是________. 解析 由题意知f?0?=f?-4?，f?-1?=f?-3?， 即b=-15×?16-4a+b?，0=9-3a+b，解得a=8，b=15， 所以f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)， 则f′(x)=-4(x+2)(x2+4x-1). 令f′(x)=0，得x=-2或x=-2-5或x=-2+5， 当x<-2-5时，f′(x)>0; 当-2-5 -2 当x>-2+5时，f′(x)<0， 所以当x=-2-5时，f(x)极大值=16; 当x=-2+5时，f(x)极大值=16，所以函数f(x)的最大值为16. 答案 16 三、解答题 12.已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围. 解 (1)∵f(x)=ex-ax-1(x∈R)，∴f′(x)=ex-a.令f′(x)≥0，得ex≥a.当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立;当a>0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞，+∞);当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，+∞). (2)由(1)知f′(x)=ex-a.∵f(x)在R上单调递增， ∴f′(x)=ex-a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立. ∵x∈R时，ex>0，∴a≤0， 即a的取值范围是(-∞，0]. 13.(2014•西安五校二次联考)已知函数f(x)=12ax2-(2a+1)x+2ln x，a∈R. (1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值; (2)求f(x)的单调区间. 解 f′(x)=ax-(2a+1)+2x(x>0). (1)由题意得f′(1)=f′(3)，解得a=23. (2)f′(x)=?ax-1??x-2?x(x>0). ①当a≤0时，x>0，ax-1<0.在区间(0,2)上，f′(x)>0;在区间(2，+∞)上，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，+∞). ②当02.在区间(0,2)和1a，+∞上，f′(x)>0;在区间2，1a上，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是(0,2)和1a，+∞，单调递减区间是2，1a. ③当a=12时，f′(x)=?x-2?22x≥0， 故f(x)的单调递增区间是(0，+∞). ④当a>12时，0<1a<2，在区间0，1a和(2，+∞)上，f′(x)>0;在区间1a，2上，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是0，1a和(2，+∞)，单调递减区间是1a，2. 14.(2014•江西卷)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)x，其中a<0. (1)当a=-4时，求f(x)的单调递增区间; (2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值. 解 (1)当a=-4时，由f′(x)=2?5x-2??x-2?x=0得x=25或x=2.由f′(x)>0得x∈0，25或x∈(2，+∞)， 故函数f(x)的单调递增区间为0，25和(2，+∞)， (2)因为f′(x)=?10x+a??2x+a?2x，a<0， 由f′(x)=0得x=-a10或x=-a2. 当x∈0，-a10时，f(x)单调递增;当x∈-a10，-a2时，f(x)单调递减;当x∈-a2，+∞时，f(x)单调递增，易知f(x)=(2x+a)2x≥0，且f-a2=0. ①当-a2≤1，即-2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)=4+4a+a2=8，得a=±22-2，均不符合题意. ②当1<-a2≤4，即-8≤a<-2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f-a2=0，不符合题意. ③当-a2>4，即a<-8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得，而f(1)≠8，由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去)，当a=-10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8，符合题意. 综上有a=-10. |
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