| 标题 | 高考数学中曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题 |
| 内容 | 曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题 求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。 1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=0 2、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0 特别地，曲线F(x，y)=0关于 (1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0 (2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0 (3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0 除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。 例2(全国高考试题)设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1： 1)写出曲线C1的方程 2)证明曲线C与C1关于点A( , )对称。 (1)解 知C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s (2)证明 在曲线C上任取一点B(a,b)，设B1(a1,b1)是B关于A的对称点，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得： s-b1=(t-a1)3-(t-a1) `b1=(a1-t)3-(a1-t)+s `B1(a1,b1)满足C1的方程 `B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上 `曲线C和C1关于a对称 我们用前面的结论来证：点P(x,y)关于A的对称点为P1(t-x,s-y)，为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s-y=(t-x)3-(t-x) `y=(x-t)3-(x-t)+s 此即为C1的方程，`C关于A的对称曲线即为C1。 |
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