高二数学文科重点知识点总结


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    高二数学文科重点知识点总结
    函数的单调性、奇偶性、周期性
    单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。
    判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)
    导数法(适用于多项式函数)
    复合函数法和图像法。
    应用:比较大小,证明不等式,解不等式。
    奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数;
    f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。
    判别方法:定义法,图像法,复合函数法
    应用:把函数值进行转化求解。
    周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
    其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.
    应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。
    高二数学文科重点知识点总结
    1.数列的定义
    按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项
    (1)从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就不是同一数列,例如数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,1是不同的数列
    (2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,在同一数列中可以出现多个相同的数字,如:-1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂,…构成数列:-1,1,-1,1,….
    (4)数列的项与它的项数是不同的,数列的项是指这个数列中的某一个确定的数,是一个函数值,也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号,它是自变量的值,相当于f(n)中的n
    (5)次序对于数列来讲是十分重要的,有几个相同的数,由于它们的排列次序不同,构成的数列就不是一个相同的数列,显然数列与数集有本质的区别.如:2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时,就会得到不同的数列,而{2,3,4,5,6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合
    2.数列的分类
    (1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类,分为有穷数列和无穷数列.在写数列时,对于有穷数列,要把末项写出,例如数列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有穷数列,如果把数列写成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示无穷数列.
    (2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类:递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.
    3.数列的通项公式
    数列是按一定次序排列的一列数,其内涵的本质属性是确定这一列数的规律,这个规律通常是用式子f(n)来表示的,
    这两个通项公式形式上虽然不同,但表示同一个数列,正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样,也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式,但在形式上,又不一定是的,仅仅知道一个数列前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的,通项公式更非.如:数列1,2,3,4,…,
    由公式写出的后续项就不一样了,因此,通项公式的归纳不仅要看它的前几项,更要依据数列的构成规律,多观察分析,真正找到数列的内在规律,由数列前几项写出其通项公式,没有通用的方法可循.
    再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点:
    (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集{1,2,…,n}为定义域的函数的表达式.
    (2)如果知道了数列的通项公式,那么依次用1,2,3,…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时,用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项,如果是的话,是第几项.
    (3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样,并不是所有的数列都有通项公式.
    如2的不足近似值,精确到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所构成的数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…就没有通项公式.
    (4)有的数列的通项公式,形式上不一定是的,正如举例中的:
    (5)有些数列,只给出它的前几项,并没有给出它的构成规律,那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不.
    4.数列的图象
    对于数列4,5,6,7,8,9,10每一项的序号与这一项有下面的对应关系:
    这就是说,上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此,从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时,对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数,它的自变量只能取正整数.
    由于数列的项是函数值,序号是自变量,数列的通项公式也就是相应函数和解析式.
    数列是一种特殊的函数,数列是可以用图象直观地表示的.
    数列用图象来表示,可以以序号为横坐标,相应的项为纵坐标,描点画图来表示一个数列,在画图时,为方便起见,在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同,从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况,但不精确.
    把数列与函数比较,数列是特殊的函数,特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合,其图象是无限个或有限个孤立的点.
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    1.求函数的单调性:
    利用导数求函数单调性的基本方法:设函数yf(x)在区间(a,b)内可导,(1)如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数;(2)如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数;(3)如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。
    利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x);③解不等式f(x)0,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0,解集在定义域内的不间断区间为减区间。
    反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围):设函数yf(x)在区间(a,b)内可导,
    (1)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);
    (2)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数,则f(x)0(其中使f(x)0的x值不构成区间);
    (3)如果函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数,则f(x)0恒成立。
    2.求函数的极值:
    设函数yf(x)在x0及其附近有定义,如果对x0附近的所有的点都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),则称f(x0)是函数f(x)的极小值(或极大值)。
    可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:
    (1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)0的全部实根,x1x2xn,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:x变化时,f(x)和f(x)值的变化情况:
    (4)检查f(x)的符号并由表格判断极值。
    3.求函数的值与最小值:
    如果函数f(x)在定义域I内存在x0,使得对任意的xI,总有f(x)f(x0),则称f(x0)为函数在定义域上的值。函数在定义域内的极值不一定,但在定义域内的最值是的。
    求函数f(x)在区间[a,b]上的值和最小值的步骤:(1)求f(x)在区间(a,b)上的极值;
    (2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在区间[a,b]上的值与最小值。
    4.解决不等式的有关问题:
    (1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。
    f(x)(xA)的值域是[a,b]时,
    不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)max0,即b0;
    不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min0,即a0。
    f(x)(xA)的值域是(a,b)时,
    不等式f(x)0恒成立的充要条件是b0;不等式f(x)0恒成立的充要条件是a0。
    (2)证明不等式f(x)0可转化为证明f(x)max0,或利用函数f(x)的单调性,转化为证明f(x)f(x0)0。
    5.导数在实际生活中的应用:
    实际生活求解(小)值问题,通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时,一定要注意,极值点的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。