高三函数知识点总结

2022年7月29日17:48:25高三函数知识点总结已关闭评论


    函数,在数学中是两不为空集的集合间的一种对应关系:输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。这次小编给大家整理了高三函数知识点总结,供大家阅读参考。
    高三函数知识点总结
    高三函数知识点总结
    1. 函数的奇偶性
    (1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x) ;
    (2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则 f(0)=0(可用于求参数);
    (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
    (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;
    (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
    2. 复合函数的有关问题
    (1)复合函数定义域求法:若已知
的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求
f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
    (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
    3.函数图像(或方程曲线的对称性)
    (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
    (2)证明图像C1与C2的对称性,即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上,反之亦然;
    (3)曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
    (4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
    (5)若函数y=f(x)对x∈R时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
    (6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;
    4.函数的周期性
    (1)y=f(x)对x∈R时,f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x)
(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
    (2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
    (3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
    (4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2 的周期函数;
    (5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;
    (6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2 的周期函数;
    5.方程
    (1)方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);
    (2)a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,;
    a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;
    (3)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
    log a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
    (4)log a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
    a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );
    6.映射
    判断对应是否为映射时,抓住两点:
    (1)A中元素必须都有象且唯一;
    (2)B中元素不一定都有原象,并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
    7.函数单调性
    (1)能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性;
    (2)依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题
    8.反函数
    对于反函数,应掌握以下一些结论:
    (1)定义域上的单调函数必有反函数;
    (2)奇函数的反函数也是奇函数;
    (3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
    (4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
    (5)
y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数,设f(x)的定义域为A,值域为B,则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
    9.数形结合
    处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系.
    10. 恒成立问题
    恒成立问题的处理方法:
    (1)分离参数法;
    (2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
    高三函数知识点
    1.集合的含义与表示
    集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
    把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
    2.集合的中元素的三个特性:
    (1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。
    (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
    (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合
    3.集合的表示:{…}
    (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
    (2)集合的表示方法:列举法与描述法。
    a、列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}
    b、描述法:
    ①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
    {x?R|x-3>2},{x|x-3>2}
    ②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
    ③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。
    4.集合的分类:
    (1)有限集:含有有限个元素的集合
    (2)无限集:含有无限个元素的集合
    (3)空集:不含任何元素的集合
    5.元素与集合的关系:
    (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A
    (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A
    注意:常用数集及其记法:
    非负整数集(即自然数集)记作:N
    正整数集N-或N+
    整数集Z
    有理数集Q
    实数集R
    6.集合间的基本关系
    (1)“包含”关系(1)—子集
    定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。
    函数知识点
    一次函数
    1.一次函数定义与定义式:
    自变量x和因变量y有如下关系:
    y=kx+b
    则此时称y是x的一次函数。
    特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。
    即:y=kx(k为常数,k≠0)
    2.一次函数的性质:
    1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
    即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)
    2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。
    3.一次函数的图像及性质:
    (1)作法与图形:通过如下3个步骤
    a 列表;
    b 描点;
    c 连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
    (2)性质:
    a 在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
    b 一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。
    (3)k,b与函数图像所在象限:
    当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
    当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
    当b>0时,直线必通过一、二象限;
    当b=0时,直线通过原点
    当b<0时,直线必通过三、四象限。
    特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
    这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。
    4.确定一次函数的表达式:
    已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。
    (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
    (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②
    (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。
    (4)最后得到一次函数的表达式。
    5.一次函数在生活中的应用:
    (1)当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
    (2)当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
    6.常用公式:
    (1)求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)
    (2)求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2
    (3)求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2
    (4)求任意线段的长:√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
    函数知识点总结
    二次函数
    1.定义与定义表达式
    一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
    y=ax’2+bx+c
    (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
    则称y为x的二次函数。
    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
    2.二次函数的三种表达式
    一般式:y=ax’2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
    顶点式:y=a(x-h)’2+k[抛物线的顶点P(h,k)]
    交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]
    注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
    h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a
    3.二次函数的图像
    在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像,
    可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
    4.抛物线的性质
    (1)抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
    x=-b/2a。
    对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
    特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
    (2)抛物线有一个顶点P,坐标为
    P(-b/2a,(4ac-b’2)/4a)
    当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时,P在x轴上。
    (3)二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小
    当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
    |a|越大,则抛物线的开口越小。
    (4)一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置
    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
    当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
    (5)常数项c决定抛物线与y轴交点
    抛物线与y轴交于(0,c)
    (6)抛物线与x轴交点个数
    Δ=b’2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
    Δ=b’2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
    Δ=b’2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b’2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
    5.二次函数与一元二次方程
    特别地,二次函数(以下称函数)y=ax’2+bx+c,
    当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),
    即ax’2+bx+c=0
    此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
    函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
    函数的表示方法
    1.列表法。用表格的方式把x与y的对应关系一一列举出来.比较少用。
    用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系;缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算,而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。
    2.解析法。用解析式把把x与y的对应关系表述出来,最常见的一种表示函数关系的方法。
    3.图像法。在坐标平面中用曲线的表示出函数关系,比较常用,经常和解析式结合起来理解函数的性质。
    把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法。这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来;缺点是从图象观察得到的数量关系是近似的。
    4.列表法。用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值,可以直接读出与之对应的函数值;缺点是只能列出部分对应值,难以反映函数的全貌。